二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22,Q的第3列为()T.①求A.②证明A+E是正定矩阵.

admin2018-11-23  30

问题 二次型f(χ1,χ2,χ3)=XTAX在正交变换X=QY下化为y12+y22,Q的第3列为()T.①求A.②证明A+E是正定矩阵.

选项

答案①条件说明 Q-1AQ=QTAQ=[*] 于是A的特征值为1,1,0,并且Q的第3列=[*](1,0,1)T是A的特征值为0的特征向量.记α1=(1,0,1)T,它也是A的特征值为0的特征向量. A是实对称矩阵,它的属于特征值1的特征向量都和α1正交,即是方程式χ1+χ3=0的非零解. α2=(1,0,-1)T,α3=(0,1,0)T 是此方程式的基础解系,它们是A的特征值为1的两个特征向量. 建立矩阵方程 A(α1,α2,α3)=(0,α2,α3), 两边做转置,得 [*] 解此矩阵方程 [*] ②A+E也是实对称矩阵,特征值为2,2,1,因此是正定矩阵.

解析
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