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已知y1*=xex+e2x,y2*=xex+e-x,y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解,试求其通解及该微分方程.
已知y1*=xex+e2x,y2*=xex+e-x,y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解,试求其通解及该微分方程.
admin
2016-10-26
31
问题
已知y
1
*
=xe
x
+e
2x
,y
2
*
=xe
x
+e
-x
,y
3
*
=xe
x
+e
2x
-e
-x
是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解,试求其通解及该微分方程.
选项
答案
易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y
1
*
—y
3
*
=e
-x
, y
2
*
—y
3
*
=2e
-x
一e
2x
. 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y
1
=e
-x
,y
2
=2(y
1
*
—y
3
*
)一(y
2
*
—y
3
*
)=e
2x
, 它们是线性无关的.为简单起见,我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y
4
*
=y
1
*
一y
2
=xe
x
. 因此该非齐次方程的通解是 y=C
1
e
-x
+C
2
e
2x
+xe
x
,其中C
1
,C
2
为任意常数. 由通解结构易知,该非齐次方程是:二阶线性常系数方程 y″+py′+qy=f(x). 它的相应特征根是λ
1
=-1,λ
2
=2,于是特征方程是 (λ+1)(λ一2)=0,即 λ
2
一λ一2=0. 因此方程为 y″一y′一2y=f(x). 再将特解y
4
*
=xe
x
代入得 (x+2)e
x
一(x+1)e
x
一2xe
x
=f(x),即 f(x)=(1—2x)e
x
因此方程为 y″一y′一2y=(1—2x)e
x
.
解析
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