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若矩阵相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P使P-1AP=A.
若矩阵相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P使P-1AP=A.
admin
2021-01-19
45
问题
若矩阵
相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P使P
-1
AP=A.
选项
答案
矩阵A的特征多项式为 [*]=(λ-6)
2
(λ+2),故A的特征值为λ
1
=λ
2
=6,λ
3
=-2. 由于A相似于对角矩阵A,故对应λ
1
=λ
2
=6应有两个线性无关的特征向量,即3-r(6E—A)=2,于是有r(6E—A)=1. 由[*],知a=0. 于是对应于λ
1
=λ
2
=6的两个线性无关的特征向量可取为 [*] 当λ
3
=-2时, [*] 解方程组[*]得对应于λ
3
=-2的特征向量[*] 令[*],则P可逆,并有P
-1
AP=A.
解析
[分析]已知A相似于对角矩阵,应先求出A的特征值,再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同,转化为特征矩阵的秩,进而确定参数a.至于求P,则是常识问题.
[评注]n阶矩阵A可对角化的充要条件是:对任一k;重特征根λ
i
,有
n-r(λ
i
E—A)=k
i
.
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考研数学二
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