2. 考研
  3. 设z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足 (Ⅰ)作变量替换u=3x+y，v=x+y，以u，v作为新的自变量，变换上述方程； (Ⅱ)求满足上述方程的z(x，y)．

设z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足 (Ⅰ)作变量替换u=3x+y，v=x+y，以u，v作为新的自变量，变换上述方程； (Ⅱ)求满足上述方程的z(x，y)．

admin2019-07-22  65
问题 设z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足

(Ⅰ)作变量替换u=3x+y，v=x+y，以u，v作为新的自变量，变换上述方程；
(Ⅱ)求满足上述方程的z(x，y)．
选项
答案(Ⅰ)将z对x，y的偏导数转换为z对u，v的偏导数．由复合函数求导法得 [*] 这里[*]仍是u，v的函数，而u，v又是x，y的函数，因而 [*] 又 [*] 将②，③，④代入原方程①得 [*] 即原方程①变成 [*] (Ⅱ)由题(Ⅰ)，在变量替换u=3x+y，v=x+y下，求解满足①的z=z(x，y)转化为求解满足⑤的z=z(u，v)． 由⑤式[*]=0，对v积分得[*]=f(u)，其中f(u)为任意的有连续导数的函数． 再对u积分得 z=φ(u)+ψ(v)，其中φ，ψ为任意的有连续的二阶导数的函数． 回到原变量得z=φ(3x+y)+ψ(x+y)．
解析
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考研数学二

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