已知实矩阵A的伴随矩阵 若矩阵B满足ABA-1=一BA-1+2E,求B.

admin2019-07-10  31

问题 已知实矩阵A的伴随矩阵
       
若矩阵B满足ABA-1=一BA-1+2E,求B.

选项

答案先将题设方程化简,再代入具体数值进行矩阵运算.注意到所给方程含有公因式,且公因子A-1可逆.应先消去公因子,化简过程中需用到下列公式: ∣A*∣=∣A∣n-1,AA*=∣A∣E. 当A可逆时,A*一∣A∣A-1. 解一 为消去题设方程两边的公因子,在其两边右乘A得到 AB=一B+2A, 即AB+B一2A=0. ① 另求得[*],故由∣A*∣=∣A∣n-1=∣A∣4-1=∣A∣3=一8,故∣A∣=一2. 为在方程中化未知为已知,在方程①两边同时左乘A*,利用A*A=∣A∣E=一2E得到一2B=一A*B—4E,即(A*一2E)B=一4E.由∣A*一2E∣≠0可知,A*一2E可逆,故 B=一4(A*一2E)-1 [*] 由“两调一除”的方法易得 [*] 解二 由ABA-1=一BA-1+2E得到AB=一B+2A, (A+E)B一2(A+E)=一2E, 即(A+E)(B一2E)=一2E. 因而[*],即 BA一2A+B=0 ② 由式①与式②得到AB=BA,于是ABA-1=BAA-1=B. 又由题设有ABA-1=一BA-1+2E,故B=ABA-1=一BA-1+2E,即 [*] 而∣A∣=一2,所以 [*] 而[*],用“两调一除”的方法易求得 [*] 解三 由解一知∣A∣=一2,则AA*=∣A∣E=一2E. 在上式两边同时右乘(A*)-1得到A=一2(A*)-1,则 [*] 将题设等式ABA-1=BA-1+2E化简得到 (A+E)BA-1=2E. 因A+E可逆,在上式两边同时左乘(A+E)-1,右乘A得 [*]

解析
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