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设A是三阶矩阵,P是三阶可逆矩阵,已知P一1AP=且Aα1=α1 ,Aα2=α2 ,Aα3=0,则P是( ).
设A是三阶矩阵,P是三阶可逆矩阵,已知P一1AP=且Aα1=α1 ,Aα2=α2 ,Aα3=0,则P是( ).
admin
2016-12-16
35
问题
设A是三阶矩阵,P是三阶可逆矩阵,已知P
一1
AP=
且Aα
1
=α
1
,Aα
2
=α
2
,Aα
3
=0,则P是( ).
选项
A、[α
1
,α
2
,α
1
+α
3
]
B、[α
2
,α
3
,α
1
]
C、[2α
1
+3α
2
,一8α
2
,4α
3
]
D、[α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
+α
1
]
答案
C
解析
P的三个列向量是A的对应于特征值的特征向量,判别时要利用下述三条原则:
(1)A的对于同一特征值的特征向量α
1
,α
2
的线性组合如kα
1
,kα
1
+k
2
α
2
仍是A的属于同一特征值的特征向量;
(2)对于不同特征值的特征向量的线性组合(例如其和或其差)不再是A的特征向量;
(3)P中特征向量的排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致.
利用上述原则即可判定正确的选项.
(A)中α
1
+α
3
不是A的特征向量,(D)中α
2
+α
3
,α
3
+α
1
也不再是A的特征向量,(B)中特征向量与对角阵中特征值的排列不一致,故均不能充当P.仅(C)入选.
因为α
1
、α
2
是λ=1的特征向量,α
3
是λ=0的特征向量,2α
1
+3α
2
,一8α
2
仍是λ=1的特征向量,4α
3
仍是λ=0的特征向量,且其排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致.
仅(C)入选.
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考研数学三
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