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设f(x)在(-∞,+∞)上有定义且是周期为2的奇函数,已知x∈(0,1)时,f(x)=lnx+cosx+ex+1,则当x∈[-4,-2]时,f(x)的表达式.
设f(x)在(-∞,+∞)上有定义且是周期为2的奇函数,已知x∈(0,1)时,f(x)=lnx+cosx+ex+1,则当x∈[-4,-2]时,f(x)的表达式.
admin
2022-06-04
31
问题
设f(x)在(-∞,+∞)上有定义且是周期为2的奇函数,已知x∈(0,1)时,f(x)=lnx+cosx+e
x+1
,则当x∈[-4,-2]时,f(x)的表达式.
选项
答案
设x∈(-1,0),则-x∈(0,1).由奇函数性质,有 f(x)=-f(-x)=-[1n(-x)+cos(-x)+e
-x+1
]=-ln(-x)-cosx-e
-x+1
设x∈(-3,-2),则2+x∈(-1,0).由周期函数性质,有 f(x)=f(x+2)=-ln[-(x+2)]-cos(x+2)-e
-x-1
设x∈(-4,-3),则4+x∈(0,1).由周期函数性质,有 f(x)=f(x+4)=ln(x+4)+cos(x+4)+e
x+5
因为f(x)在(-∞,+∞)上为奇函数,则f(0)=0.再由周期为2,得 f(-4)=f(0)=0,f(-1)=f(1)=-f(-1) 所以f(-3)=f(-1)=0.综上可得, [*]
解析
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考研数学二
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