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  3. 设二次型f=xTAX，其中AT=A，X=(x1，x2，…，xn)T，则f正定的充分必要条件是( )

设二次型f=xTAX，其中AT=A，X=(x1，x2，…，xn)T，则f正定的充分必要条件是( )

admin2019-05-12  59
问题 设二次型f=xTAX，其中AT=A，X=(x1，x2，…，xn)T，则f正定的充分必要条件是(    )
选项 A、A的行列式｜A｜＞0．
B、f的负惯性指数为0．
C、f的秩为n．
D、A=MtM，M为n阶可逆矩阵．
答案D
解析 若A=MTM，则对任意X≠0，均有MX≠0(否则由MX=0得X=M-10=0)，于是f=XTAX=XTMTMX=(MX)T(MX)=｜｜MX｜｜2＞0，即f是正定的；反之，若f是正定的，则存在可逆线性变换X=PY，使f成为规范形，即PTAP=E，由于P可逆，故有A=(PT)-1E(P-1)=(P-1)T(P-1)=MTM(取M=P-1)．
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考研数学一

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