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设二次型f=xTAX,其中AT=A,X=(x1,x2,…,xn)T,则f正定的充分必要条件是( )
设二次型f=xTAX,其中AT=A,X=(x1,x2,…,xn)T,则f正定的充分必要条件是( )
admin
2019-05-12
59
问题
设二次型f=x
T
AX,其中A
T
=A,X=(x
1
,x
2
,…,x
n
)
T
,则f正定的充分必要条件是( )
选项
A、A的行列式|A|>0.
B、f的负惯性指数为0.
C、f的秩为n.
D、A=M
t
M,M为n阶可逆矩阵.
答案
D
解析
若A=M
T
M,则对任意X≠0,均有MX≠0(否则由MX=0得X=M
-1
0=0),于是f=X
T
AX=X
T
M
T
MX=(MX)
T
(MX)=||MX||
2
>0,即f是正定的;反之,若f是正定的,则存在可逆线性变换X=PY,使f成为规范形,即P
T
AP=E,由于P可逆,故有A=(P
T
)
-1
E(P
-1
)=(P
-1
)
T
(P
-1
)=M
T
M(取M=P
-1
).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/e804777K
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考研数学一
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