设二次型f=xTAX，其中AT=A，X=(x1，x2，…，xn)T，则f正定的充分必要条件是( )

admin2019-05-12 65

问题设二次型f=x^TAX，其中A^T=A，X=(x₁，x₂，…，x_n)^T，则f正定的充分必要条件是( )

选项 A、A的行列式｜A｜＞0．
B、f的负惯性指数为0．
C、f的秩为n．
D、A=M^tM，M为n阶可逆矩阵．

答案D

解析若A=M^TM，则对任意X≠0，均有MX≠0(否则由MX=0得X=M^-10=0)，于是f=X^TAX=X^TM^TMX=(MX)^T(MX)=｜｜MX｜｜²＞0，即f是正定的；反之，若f是正定的，则存在可逆线性变换X=PY，使f成为规范形，即P^TAP=E，由于P可逆，故有A=(P^T)^-1E(P^-1)=(P^-1)^T(P^-1)=M^TM(取M=P^-1)．

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