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  3. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f(1)＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)＝.

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f(1)＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)＝.

admin2017-08-28  51
问题 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f(1)＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)＝.
选项
答案令φ(x)＝(x一1)2f’(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导．由f(0)＝f(1)＝0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)＝0，再由φ(c)＝φ(1)＝0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)[*](0，1)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝2(x一1)f’(x)＋(x一1)2f"(x)，所以2(ξ一1)f’(ξ)＋(ξ一1)2f"(ξ)＝0，整理得[*]．
解析
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考研数学一

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