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  3. 若x＞－1．证明： 当0＜a＜1时，有(1+x)α＜1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+ax．

若x＞－1．证明： 当0＜a＜1时，有(1+x)α＜1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+ax．

admin2016-09-13  35
问题 若x＞－1．证明：
当0＜a＜1时，有(1+x)α＜1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+ax．
选项
答案令f(x)=(1+x)α，则有fˊ(x)=α(1+x)α－1，fˊˊ(x)=α(α－1)(1+x)α－2． 由f(x)的泰勒展开式 f(x)=f(0)+fˊ(0)x+[*]x2，ξ∈(0，1)， 可知当x＞－1，0＜α＜1时，α(α－1)＜0，1+ξ＞0，故[*]＜0，所以f(x)＜f(0)+fˊ(0)x，即 (1+x)α＜1+αx． 同理可证当x＞－1，α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+αx．
解析
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考研数学三

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