若x>-1.证明: 当0<a<1时,有(1+x)α<1+αx;当α<0或α>1时,有(1+x)α>1+ax.

admin2016-09-13  38

问题 若x>-1.证明:
当0<a<1时,有(1+x)α<1+αx;当α<0或α>1时,有(1+x)α>1+ax.

选项

答案令f(x)=(1+x)α,则有fˊ(x)=α(1+x)α-1,fˊˊ(x)=α(α-1)(1+x)α-2. 由f(x)的泰勒展开式 f(x)=f(0)+fˊ(0)x+[*]x2,ξ∈(0,1), 可知当x>-1,0<α<1时,α(α-1)<0,1+ξ>0,故[*]<0,所以f(x)<f(0)+fˊ(0)x,即 (1+x)α<1+αx. 同理可证当x>-1,α<0或α>1时,有(1+x)α>1+αx.

解析
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