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若x>-1.证明: 当0<a<1时,有(1+x)α<1+αx;当α<0或α>1时,有(1+x)α>1+ax.
若x>-1.证明: 当0<a<1时,有(1+x)α<1+αx;当α<0或α>1时,有(1+x)α>1+ax.
admin
2016-09-13
75
问题
若x>-1.证明:
当0<a<1时,有(1+x)
α
<1+αx;当α<0或α>1时,有(1+x)
α
>1+ax.
选项
答案
令f(x)=(1+x)
α
,则有fˊ(x)=α(1+x)
α-1
,fˊˊ(x)=α(α-1)(1+x)
α-2
. 由f(x)的泰勒展开式 f(x)=f(0)+fˊ(0)x+[*]x
2
,ξ∈(0,1), 可知当x>-1,0<α<1时,α(α-1)<0,1+ξ>0,故[*]<0,所以f(x)<f(0)+fˊ(0)x,即 (1+x)
α
<1+αx. 同理可证当x>-1,α<0或α>1时,有(1+x)
α
>1+αx.
解析
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考研数学三
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证明[*]
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