设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式。

admin2017-01-13 78

问题设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为

，求f(x)的表达式。

选项

答案由题意得[*] 即有1+f(x)+xf’(x)一2f(x)=x²。当x≠0时，化简得[*]即[*]此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为[*]曲线过点B(1，0)，代入上式，得C=一2.所以f(x)=x²+1—2x=(x一1)²。

解析

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考研数学二

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求
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设函数f(x)闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f’(x)＞0,若极限存在，证明：在(a,b)内存在与第二小题中ξ相异的点η，使得f’(η)(b2－a2)=∫abf(x)dx。
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足xf’(x)=f(x)+x2(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f(x),并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。
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