(2004年)设f(χ)=|sint|dt (Ⅰ)证明f(χ)是以π为周期的周期函数. (Ⅱ)求f(χ)的值域.

admin2016-05-30  66

问题 (2004年)设f(χ)=|sint|dt
    (Ⅰ)证明f(χ)是以π为周期的周期函数.
    (Ⅱ)求f(χ)的值域.

选项

答案(Ⅰ)f(χ+π)=[*]|sint|dt 令t=u+π,则有 f(χ+π)=[*]|sinu|du=f(χ) 故f(χ)是以π为周期的周期函数. (Ⅱ)由于|sinχ|在(-∞,+∞)上连续,则f(χ)为(-∞,+∞)上的连续函数,注意到f(χ)以π为周期,故只须在[0,π]上讨论其值域,因为 f′(χ)=|sin(χ+[*])|-|sinχ|=|cosχ|-|sinχ| 令f′(χ)=0,得[*], 且[*] 因而f(χ)在[0,π]上的最小值为2-[*],最大值是[*],故f(χ)的值域为[*]

解析
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