(2004年)设f(χ)＝｜sint｜dt (Ⅰ)证明f(χ)是以π为周期的周期函数． (Ⅱ)求f(χ)的值域．

admin2016-05-30 82

问题 (2004年)设f(χ)＝

｜sint｜dt
(Ⅰ)证明f(χ)是以π为周期的周期函数．
(Ⅱ)求f(χ)的值域．

选项

答案(Ⅰ)f(χ＋π)＝[*]｜sint｜dt 令t＝u＋π，则有 f(χ＋π)＝[*]｜sinu｜du＝f(χ) 故f(χ)是以π为周期的周期函数． (Ⅱ)由于｜sinχ｜在(－∞，＋∞)上连续，则f(χ)为(－∞，＋∞)上的连续函数，注意到f(χ)以π为周期，故只须在[0，π]上讨论其值域，因为 f′(χ)＝｜sin(χ＋[*])｜－｜sinχ｜＝｜cosχ｜－｜sinχ｜令f′(χ)＝0，得[*]，且[*] 因而f(χ)在[0，π]上的最小值为2－[*]，最大值是[*]，故f(χ)的值域为[*]

解析

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考研数学二

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