2. 考研
  3. 设f(x)和g(x)在[a，b]上连续，试证至少有一点c∈(a，b)，使 f(c)∫cbg(x)dx＝g(c)∫acf(x)dx。

设f(x)和g(x)在[a，b]上连续，试证至少有一点c∈(a，b)，使 f(c)∫cbg(x)dx＝g(c)∫acf(x)dx。

admin2015-11-16  15
问题 设f(x)和g(x)在[a，b]上连续，试证至少有一点c∈(a，b)，使
    f(c)∫cbg(x)dx＝g(c)∫acf(x)dx。
选项
答案证 由上述证题思路易知，应设辅助函数 F(x)＝∫axf(t)dt∫xbg(t)dt。 由f(x)，g(x)在[a，b]上连续，可知F’(x)存在，且 F’(x)＝f(x)∫xbg(t)dt－g(x)∫axf(t)dt， x∈[a，b]， ① 又 F(a)＝F(b)＝0， 由罗尔定理知，至少存在一点c∈(a，b)，使F’(c)＝0。由式①即得 f(c)∫cbg(x)dx＝g(c)∫acf(x)dx。
解析
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考研数学一

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