2. 考研
  3. 假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证： (1)在开区间(a，b)内g(x)≠0． (2)在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使

假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证： (1)在开区间(a，b)内g(x)≠0． (2)在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使

admin2021-11-09  57
问题 假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：
(1)在开区间(a，b)内g(x)≠0．
(2)在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使
选项
答案(1)利用反证法．假设存在c∈(a，b)，使得g(c)=0，则对g(x)在[a，c]和[c，b]上分别应用罗尔中值定理，可知存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c，b)，使得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0成立． 接着再对g’(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔中值定理，可知存在ξ3∈(ξ1，ξ2)，使得g’’(ξ3)=0成立，这与题设条件g’’(x)≠0矛盾，因此在开区间(a，b)内g(x)≠0． (2)构造函数F(x)=f(x)g’(x)一g(x)f’(x)，由题设条件得函数F(x)在区间[a，b]上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足F(A)=F(B)=0．根据罗尔中值定理可知，存在点ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0．即f(ξ)g’’(ξ)一f’’(ξ)g(ξ)=0，因此可得 [*]
解析
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考研数学二

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