2. 考研
  3. 设三阶矩阵A满足Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中列向量α1=(1，2，2)T，α2=(2，—2，1)T，α3=(—2，—1，2)T，试求矩阵A。

设三阶矩阵A满足Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中列向量α1=(1，2，2)T，α2=(2，—2，1)T，α3=(—2，—1，2)T，试求矩阵A。

admin2019-03-23  56
问题 设三阶矩阵A满足Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中列向量α1=(1，2，2)T，α2=(2，—2，1)T，α3=(—2，—1，2)T，试求矩阵A。
选项
答案由题设条件可得，Aα1=α1，Aα2=2α2，Aα3=3α3，所以α1，α2，α3是矩阵A不同特征值的特征向量，故它们线性无关。利用分块矩阵，则有 A(α1，α2，α3)=(α1，2α2，3α3)， 因为矩阵(α1，α2，α3)可逆，故 A=(α1，2α2，3α3)(α1，α2，α3)—1 =[*]
解析 本题主要考查的是已知矩阵的特征值和特征向量，反求矩阵。可直接利用概念求解。当然本题还可以利用相似对角化求解，解法如下：
因为矩阵A有3个不同的特征值，所以A可相似对角化，即存在一个三阶可逆矩阵P，使得
P—1AP=Λ=，P=(α1，α2，α3)，
那么A=PΛP—1，进一步求解可得A。
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考研数学二

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