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设三阶矩阵A满足Aαi=iαi(i=1,2,3),其中列向量α1=(1,2,2)T,α2=(2,—2,1)T,α3=(—2,—1,2)T,试求矩阵A。
设三阶矩阵A满足Aαi=iαi(i=1,2,3),其中列向量α1=(1,2,2)T,α2=(2,—2,1)T,α3=(—2,—1,2)T,试求矩阵A。
admin
2019-03-23
53
问题
设三阶矩阵A满足Aα
i
=iα
i
(i=1,2,3),其中列向量α
1
=(1,2,2)
T
,α
2
=(2,—2,1)
T
,α
3
=(—2,—1,2)
T
,试求矩阵A。
选项
答案
由题设条件可得,Aα
1
=α
1
,Aα
2
=2α
2
,Aα
3
=3α
3
,所以α
1
,α
2
,α
3
是矩阵A不同特征值的特征向量,故它们线性无关。利用分块矩阵,则有 A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
,2α
2
,3α
3
), 因为矩阵(α
1
,α
2
,α
3
)可逆,故 A=(α
1
,2α
2
,3α
3
)(α
1
,α
2
,α
3
)
—1
=[*]
解析
本题主要考查的是已知矩阵的特征值和特征向量,反求矩阵。可直接利用概念求解。当然本题还可以利用相似对角化求解,解法如下:
因为矩阵A有3个不同的特征值,所以A可相似对角化,即存在一个三阶可逆矩阵P,使得
P
—1
AP=Λ=
,P=(α
1
,α
2
,α
3
),
那么A=PΛP
—1
,进一步求解可得A。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eHV4777K
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考研数学二
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