设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵, 其中A*是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵. (Ⅰ)计算并化简PQ; (Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.

admin2017-06-08  39

问题 设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵
其中A*是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.
(Ⅰ)计算并化简PQ;
(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.

选项

答案(Ⅰ)由AA*=A*A=|A|E 及A*=|A|A-1有 [*] (Ⅱ)用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有 [*] 因为矩阵A可逆,行列式|A|≠0,故|Q|=|A|(b-αTA-1α). 由此可知,Q可逆的充分必要条件是b-αTA-1α≠0,即αTA-1α≠b.

解析
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