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求微分方程y"+2y’+2y=2e一xcos2的通解.
求微分方程y"+2y’+2y=2e一xcos2的通解.
admin
2016-06-25
59
问题
求微分方程y"+2y’+2y=2e
一x
cos
2
的通解.
选项
答案
应先用三角公式将自由项写成 e
一x
+e
一x
cos x, 然后再用叠加原理用待定系数法求特解. 对应的齐次方程的通解为 Y=(C
1
cos x+C
2
sin x)e
一x
. 为求原方程的一个特解,将自由项分成两项:e
一x
,e
一x
xcos x,分别考虑 y"+2y’+2y=e
一x
, ① 与 y"+2y’+2y=e
一x
cos x. ② 对于式①,令 y
1
*
=Ae
一x
, 代入可求得A=1,从而得y
1
*
=e
一x
. 对于式②,令 y
2
*
=xe
一x
(Bcosx+Csin x), 代入可求得B=0,C=[*].由叠加原理,得原方程的通解为 y=Y+y
1
*
+y
2
*
=e
一x
(C
1
cos x+C
2
sin x)+e
一x
+[*]xe
一x
sin x,其中C
1
,C
2
为任意常数.
解析
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