2. 考研
  3. 设f(x)是连续函数. (1)求初值问题的解，其中a＞0； (2)若|f(x)|≤k，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤k/a(eax-1).

设f(x)是连续函数. (1)求初值问题的解，其中a＞0； (2)若|f(x)|≤k，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤k/a(eax-1).

admin2022-08-19  53
问题 设f(x)是连续函数.
(1)求初值问题的解，其中a＞0；
(2)若|f(x)|≤k，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤k/a(eax-1).
选项
答案(1) y′+ay=f(x)的通解为y=[∫0xf(t)eatdt+C]e-ax， 由y(0)=0得C=0，所以y=e-ax∫0xf(t)eatdt. (2)当x≥0时，|y|=e-ax|∫0xf(t)eatdt|≤e-ax∫0x|f(t)|eatdt≤ke-ax∫0xeatdt =(k/a)e-ax(eax-1)≤k/a(eax-1).
解析
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考研数学三

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