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设a为常数,f(x)=aex-1-x-,则f(x)在区间(-∞,+∞)内 ( )
设a为常数,f(x)=aex-1-x-,则f(x)在区间(-∞,+∞)内 ( )
admin
2020-03-24
61
问题
设a为常数,f(x)=ae
x
-1-x-
,则f(x)在区间(-∞,+∞)内 ( )
选项
A、当a>0时f(x)无零点,当a≤0时f(x)恰有一个零点
B、当a>0时f(x)恰有两个零点,当a≤0时f(x)无零点
C、当a>0时f(x)恰有两个零点,当a≤0时f(x)恰有一个零点
D、当a>0时f(x)恰有一个零点,当a≤0时f(x)无零点
答案
D
解析
本题考查一元微分学的应用,讨论函数的零点问题.
令g(x)=f(x)e
-x
=a-(1+x+
)e
-x
,由于e
-x
>0,g(x)与f(x)的零点完全一样,又gˊ(x)=
≥0,且仅在一点x=0等号成立,故g(x)严格单调增,所以g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
当a>0时,f(-∞)<0,f(+∞)>0,由连续函数零点定理,f(x)至少有一个零点,至少、至多合在一起,所以f(x)正好有一个零点.
当a≤0,f(x)e
-x
=a-(1+x+
)e
-x
<0,f(x)无零点.
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考研数学三
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