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  3. 设a为常数，f(x)=aex－1－x－，则f(x)在区间(－∞，+∞)内 ( )

设a为常数，f(x)=aex－1－x－，则f(x)在区间(－∞，+∞)内 ( )

admin2020-03-24  48
问题 设a为常数，f(x)=aex－1－x－，则f(x)在区间(－∞，+∞)内    (    )
选项 A、当a＞0时f(x)无零点，当a≤0时f(x)恰有一个零点
B、当a＞0时f(x)恰有两个零点，当a≤0时f(x)无零点
C、当a＞0时f(x)恰有两个零点，当a≤0时f(x)恰有一个零点
D、当a＞0时f(x)恰有一个零点，当a≤0时f(x)无零点
答案D
解析 本题考查一元微分学的应用，讨论函数的零点问题．
令g(x)=f(x)e－x=a－(1+x+)e－x，由于e－x＞0，g(x)与f(x)的零点完全一样，又gˊ(x)=≥0，且仅在一点x=0等号成立，故g(x)严格单调增，所以g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
当a＞0时，f(－∞)＜0，f(+∞)＞0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以f(x)正好有一个零点．
当a≤0，f(x)e－x=a－(1+x+)e－x＜0，f(x)无零点．
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考研数学三

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