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设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个: (Ⅰ)f(x)在x=0处三阶可导,且 (Ⅱ)f(x)在x=0邻域二阶可导,f’(0)=0,且f’’(x)-xf’(x)=ex-1, 则下列说法正确的是
设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个: (Ⅰ)f(x)在x=0处三阶可导,且 (Ⅱ)f(x)在x=0邻域二阶可导,f’(0)=0,且f’’(x)-xf’(x)=ex-1, 则下列说法正确的是
admin
2019-07-12
81
问题
设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个:
(Ⅰ)f(x)在x=0处三阶可导,且
(Ⅱ)f(x)在x=0邻域二阶可导,f’(0)=0,且
f’’(x)-xf’(x)=e
x
-1,
则下列说法正确的是
选项
A、f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))不是曲线y=f(x)的拐点.
B、f(0)是f(x)的极小值.
C、(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点.
D、f(0)是f(x)的极大值.
答案
B
解析
(Ⅰ)由条件
=f’(0)=0.用洛必达法则得
因
=f’’(0),若f’’(0)≠0,则J=∞,与J=1矛盾,故必有f’’(0)=0.再由f’’’(0)的定义知
因此,(0,f(0))是拐点.选(C).
(Ⅱ)已知f’(0)=0,现考察f’’(0).由方程得
利用当x→0时的等价无穷小关系
,并求极限即得
又f’’(x)在x=0连续,故f’’(0)=3>0.因此f(0)是f(x)的极小值.应选(B).
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考研数学三
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