设有矩阵Am×n,Bn×m,Em+AB可逆, (1)验证:En+BA也可逆,且(En+BA)-1=En—B(Em+AB)-1A; (2)设其中,利用(1)证明:P可逆,并求P-1.

admin2017-12-23  28

问题 设有矩阵Am×n,Bn×m,Em+AB可逆,
(1)验证:En+BA也可逆,且(En+BA)-1=En—B(Em+AB)-1A;
(2)设其中,利用(1)证明:P可逆,并求P-1

选项

答案(1)(En+BA)(En-B(Em+AB)-1A) =En+BA一B(Em+AB)-1A一BAB(Em+AB)-1A =En+BA—B(Em+AB)(Em+AB)-1A=En. 故 En+BA)-1=Em-B(Em+AB)-1A. [*] 其中 X=[x1,x2,…,xn]T,Y=[y1,y2,…,yn]T. 因1+YTX=[*]=2≠0,由(1)知P=E+XYT可逆,且 P-1=(E+XYT)-1=E-X(1+YTX)-1YT=E一[*] [*]

解析
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