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  3. 求曲面积分I=(x+cosy)dydz+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy，其中S为x+y+z=π在第一卦限部分，取上侧．

求曲面积分I=(x+cosy)dydz+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy，其中S为x+y+z=π在第一卦限部分，取上侧．

admin2018-06-15  24
问题 求曲面积分I=(x+cosy)dydz+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy，其中S为x+y+z=π在第一卦限部分，取上侧．
选项
答案[*] 平面S的单位法向量n=(cosα，cosβ，cosγ)=[*](1，1，1)，由第一、二类曲面积分的关系，可得 [*] 下面求I2． 投影到xy平面上化为二重积分．S的投影区域为Dxy，如图9．26，则有 [*] I2=[*][cosy．(－z’x)+cos(π－(x+y))．(－z’y)+cosx]dxdy [*] 其中由z=π－(x+y)得z’x=－1，z’y=－1．由于Dxy关于y=x对称，则有 [*] 于是 [*]cosxdxdy=∫0πdy∫0π－ycosxdx=∫0πsinx|0π－ydy=∫0πsinydy=2， [*]cos(x+y)dxdy=∫0πdx∫0π－xcos(x+y)dy=∫0πsin(x+y)|0π－xdx =－∫0πsinxdx=－2． 因此I2=2×2－(－2)=6．
解析
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考研数学一

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