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求曲面积分I=(x+cosy)dydz+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy,其中S为x+y+z=π在第一卦限部分,取上侧.
求曲面积分I=(x+cosy)dydz+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy,其中S为x+y+z=π在第一卦限部分,取上侧.
admin
2018-06-15
64
问题
求曲面积分I=
(x+cosy)dydz+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy,其中S为x+y+z=π在第一卦限部分,取上侧.
选项
答案
[*] 平面S的单位法向量n=(cosα,cosβ,cosγ)=[*](1,1,1),由第一、二类曲面积分的关系,可得 [*] 下面求I
2
. 投影到xy平面上化为二重积分.S的投影区域为D
xy
,如图9.26,则有 [*] I
2
=[*][cosy.(-z’
x
)+cos(π-(x+y)).(-z’
y
)+cosx]dxdy [*] 其中由z=π-(x+y)得z’
x
=-1,z’
y
=-1.由于D
xy
关于y=x对称,则有 [*] 于是 [*]cosxdxdy=∫
0
π
dy∫
0
π-y
cosxdx=∫
0
π
sinx|
0
π-y
dy=∫
0
π
sinydy=2, [*]cos(x+y)dxdy=∫
0
π
dx∫
0
π-x
cos(x+y)dy=∫
0
π
sin(x+y)|
0
π-x
dx =-∫
0
π
sinxdx=-2. 因此I
2
=2×2-(-2)=6.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eWg4777K
0
考研数学一
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