求微分方程y’’+2y’+2y=2e-xcos2的通解．

admin2016-07-22 55

问题求微分方程y’’+2y’+2y=2e^-xcos²

的通解．

选项

答案应先用三角公式将自由项写成e^-x+e^-xcosx，然后再用叠加原理用待定系数法求特解．对应的齐次方程的通解为 y=(C₁cosx+C₂sinx)e^-x．为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e^{-x -}，e^-xcosx，分别考虑 y’’+2y’+2y=e^-x， ① 与 y’’+2y’+2y=e^-xcosx ② 对于①，令 y*₁=Ae^-x，代入可求得A=1，从而得y*₁=e^-x．对于②，令 y*₂=xe^-x(Bcosx+Csinx)，代入可求得B=0，C=[*]．由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y*₁+y*₂=e^-x(C₁cosx+C₂sinx)+e^-x+[*]xe^-xsinx，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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