设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),在X=x(一∞<x<+∞)的条件下,随机变量Y服从正态分布N(x,1),求在Y=y条件下关于X的条件概率密度.

admin2017-10-25  40

问题 设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),在X=x(一∞<x<+∞)的条件下,随机变量Y服从正态分布N(x,1),求在Y=y条件下关于X的条件概率密度.

选项

答案依题意,X的概率密度为 fX(x)=[*]. 在X=x的条件下,关于Y的条件概率密度为 fY|X(y|x)=[*]. 根据条件概率密度的定义可得X与Y的联合概率密度为 f(x,y)=fX(x).fY|X(y|x)=[*]. 根据二维正态分布的性质可知,二维正态分布(X,y)的边缘分布是一维正态分布,于是y的概率密度为 fY(y)=[*]. 根据条件密度的定义可得 fX|Y(x|y)=[*]. 进一步分析,可将fX|Y(x|y)改写为如下形式: fX|Y(x|y)=[*]. 从上面式子可以看出,在Y=y条件下关于X的条件分布是正态分布[*].

解析 依题意已知X的分布及关于Y的条件分布,因此我们很容易求出X与Y的联合分布,然后直接应用条件密度公式求fX|Y(x|y).
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