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设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),在X=x(一∞<x<+∞)的条件下,随机变量Y服从正态分布N(x,1),求在Y=y条件下关于X的条件概率密度.
设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),在X=x(一∞<x<+∞)的条件下,随机变量Y服从正态分布N(x,1),求在Y=y条件下关于X的条件概率密度.
admin
2017-10-25
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问题
设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),在X=x(一∞<x<+∞)的条件下,随机变量Y服从正态分布N(x,1),求在Y=y条件下关于X的条件概率密度.
选项
答案
依题意,X的概率密度为 f
X
(x)=[*]. 在X=x的条件下,关于Y的条件概率密度为 f
Y|X
(y|x)=[*]. 根据条件概率密度的定义可得X与Y的联合概率密度为 f(x,y)=f
X
(x).f
Y|X
(y|x)=[*]. 根据二维正态分布的性质可知,二维正态分布(X,y)的边缘分布是一维正态分布,于是y的概率密度为 f
Y
(y)=[*]. 根据条件密度的定义可得 f
X|Y
(x|y)=[*]. 进一步分析,可将f
X|Y
(x|y)改写为如下形式: f
X|Y
(x|y)=[*]. 从上面式子可以看出,在Y=y条件下关于X的条件分布是正态分布[*].
解析
依题意已知X的分布及关于Y的条件分布,因此我们很容易求出X与Y的联合分布,然后直接应用条件密度公式求f
X|Y
(x|y).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ebX4777K
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考研数学三
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