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设A为3阶矩阵,E为3阶单位矩阵,α,β是线性无关的3维列向量,且A的秩r(A)=2,Aα=β,Aβ=α,则|A+3E|为( )
设A为3阶矩阵,E为3阶单位矩阵,α,β是线性无关的3维列向量,且A的秩r(A)=2,Aα=β,Aβ=α,则|A+3E|为( )
admin
2021-02-25
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问题
设A为3阶矩阵,E为3阶单位矩阵,α,β是线性无关的3维列向量,且A的秩r(A)=2,Aα=β,Aβ=α,则|A+3E|为( )
选项
A、0
B、6
C、18
D、24
答案
D
解析
本题考查用特征值计算抽象矩阵的行列式.先用特征值与特征向量的定义和r(A)求出抽象矩阵的特征值,再根据特征值与该矩阵行列式的关系计算行列式.
由于r(A)=2,所以λ=0是A的一个特征值,由Aα=β,Aβ=α,可得A(α+β)=α+β,A(α-β)=-(α-β),而α,β线性无关,所以α+β≠0,α-β≠0,所以1,-1是A的另两个特征值,因此A的特征值为0,1,-1,于是A+3E的特征值是3,4,2,故|A+3E|=3×4×2=24.
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