2. 考研
  3. 设向量组α1＝(1，1，1，3)T，α2＝(－1，一3，5，1)T，α3＝(3，2，－1，p＋2)T，α4＝(－2，－6，10，p)T， (1)户为何值时，该向量组线陛无关?并在此时将向量α＝(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4线性表出；

设向量组α1＝(1，1，1，3)T，α2＝(－1，一3，5，1)T，α3＝(3，2，－1，p＋2)T，α4＝(－2，－6，10，p)T， (1)户为何值时，该向量组线陛无关?并在此时将向量α＝(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4线性表出；

admin2014-01-26  50
问题 设向量组α1＝(1，1，1，3)T，α2＝(－1，一3，5，1)T，α3＝(3，2，－1，p＋2)T，α4＝(－2，－6，10，p)T，
    (1)户为何值时，该向量组线陛无关?并在此时将向量α＝(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4线性表出；
    (2)p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．
选项
答案由于行列式 [*] 可见 (1)当p≠2时，向量组α1，α2，α3，α4线性无关．此时设 α＝x1α1，x2α2，x3α3，x4α4， 对矩阵[α1，α2，α3，α4｜α]作初等行变换： [*] 解得 x1＝2，[*]。 (2)当p＝2时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关．此时向量组的秩等于3，α1，α2，α3(或α1，α3，α4)为其一个极大线性无关组．
解析 [分析]  由于向量的个数与维数相等，该向量组是否线性相关，可由其对应的行列式是否为零来判断．至于α用α1，α2，α3，α4线性表出，实质上是讨论方程组的解的问题．
[评注]  一个向量是否可用一组向量线性表示，相当于对应的非齐次线性方程组是否有解，因此可以说，这两个问题是等价的．故在讨论与此相关的问题时，应注意它们之间的这种转换关系．
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考研数学二

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