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设向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(-1,一3,5,1)T,α3=(3,2,-1,p+2)T,α4=(-2,-6,10,p)T, (1)户为何值时,该向量组线陛无关?并在此时将向量α=(4,1,6,10)T用α1,α2,α3,α4线性表出;
设向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(-1,一3,5,1)T,α3=(3,2,-1,p+2)T,α4=(-2,-6,10,p)T, (1)户为何值时,该向量组线陛无关?并在此时将向量α=(4,1,6,10)T用α1,α2,α3,α4线性表出;
admin
2014-01-26
50
问题
设向量组α
1
=(1,1,1,3)
T
,α
2
=(-1,一3,5,1)
T
,α
3
=(3,2,-1,p+2)
T
,α
4
=(-2,-6,10,p)
T
,
(1)户为何值时,该向量组线陛无关?并在此时将向量α=(4,1,6,10)
T
用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出;
(2)p为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
选项
答案
由于行列式 [*] 可见 (1)当p≠2时,向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关.此时设 α=x
1
α
1
,x
2
α
2
,x
3
α
3
,x
4
α
4
, 对矩阵[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
|α]作初等行变换: [*] 解得 x
1
=2,[*]。 (2)当p=2时,向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关.此时向量组的秩等于3,α
1
,α
2
,α
3
(或α
1
,α
3
,α
4
)为其一个极大线性无关组.
解析
[分析] 由于向量的个数与维数相等,该向量组是否线性相关,可由其对应的行列式是否为零来判断.至于α用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出,实质上是讨论方程组的解的问题.
[评注] 一个向量是否可用一组向量线性表示,相当于对应的非齐次线性方程组是否有解,因此可以说,这两个问题是等价的.故在讨论与此相关的问题时,应注意它们之间的这种转换关系.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eh34777K
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考研数学二
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