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已知向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关.设β1=α1+α2,β2=α2+α3,…,βs-1=αs-1+αs,βs=αs+α1.试讨论向量组β1,β2,…,βs的线性相关性.
已知向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关.设β1=α1+α2,β2=α2+α3,…,βs-1=αs-1+αs,βs=αs+α1.试讨论向量组β1,β2,…,βs的线性相关性.
admin
2021-01-25
63
问题
已知向量组α
1
,α
2
,…,α
s
(s≥2)线性无关.设β
1
=α
1
+α
2
,β
2
=α
2
+α
3
,…,β
s-1
=α
s-1
+α
s
,β
s
=α
s
+α
1
.试讨论向量组β
1
,β
2
,…,β
s
的线性相关性.
选项
答案
假设有一组数x
1
,x
2
,…,x
s
,使得 x
1
β
1
+x
2
β
2
+…x
s
β
s
=0将题设的线性表示式代人上式并整理,得 (x
s
+x
1
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
s-1
+x
s
)α
s
=0由于α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,故有 [*]此方程组的系数行列式为s阶行列式: [*]因此有 (1)若s为奇数,则D=2≠0,故方程组(*)只有零解,即x
1
,x
2
,…,x
s
必全为0.这时,β
1
,β
2
,…,β
s
线性无关; (2)若s为偶数,则D=0,故方程组(*)有非零解,即存在不全为0的一组数x
1
,x
2
,…,x
s
,使x
1
β
1
+x
2
β
2
+…+x
s
β
s
=0.这时,向量组β
1
,β
2
,…,β
s
线性相关.
解析
本题考查向量组线性相关与线性无关的基本概念.注意本题问题归结为齐次方程组(*)是存在非零解还是只有零解的问题,亦即方程组(*)的系数矩阵的秩是小于s还是等于s的问题.运用本题的推导方法,可证明下述的一般结论:
设向量组α
1
,α
2
,…,α
r
,线性无关,又有(其中α
ij
为常数,i=1,…,r;j=1,…,s)
β
1
=α
11
α
1
+α
21
α
2
+…+α
r1
lα
r
β
2
=α
12
α
1
+α
22
α
2
+…+α
r2
α
r
… β
s
=α
1s
α
1
+α
2s
α
2
+…+α
rs
α
r
则向量组β
1
,β
2
,…,β
s
线性无关<=>矩阵A=(α
ij
)
r×s
的秩为s.
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考研数学三
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