2. 考研
  3. 已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

admin2021-01-25  64
问题 已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
选项
答案假设有一组数x1，x2，…，xs，使得 x1β1+x2β2+…xsβs=0将题设的线性表示式代人上式并整理，得 (xs+x1)α1+(x1+x2)α2+…+(xs-1+xs)αs=0由于α1，α2，…，αs线性无关，故有 [*]此方程组的系数行列式为s阶行列式： [*]因此有 (1)若s为奇数，则D=2≠0，故方程组(*)只有零解，即x1，x2，…，xs必全为0．这时，β1，β2，…，βs线性无关； (2)若s为偶数，则D=0，故方程组(*)有非零解，即存在不全为0的一组数x1，x2，…，xs，使x1β1+x2β2+…+xsβs=0．这时，向量组β1，β2，…，βs线性相关．
解析 本题考查向量组线性相关与线性无关的基本概念．注意本题问题归结为齐次方程组(*)是存在非零解还是只有零解的问题，亦即方程组(*)的系数矩阵的秩是小于s还是等于s的问题．运用本题的推导方法，可证明下述的一般结论：
    设向量组α1，α2，…，αr，线性无关，又有(其中αij为常数，i=1，…，r；j=1，…，s)
    β1=α11α1+α21α2+…+αr1lαr
    β2=α12α1+α22α2+…+αr2αr    …    βs=α1sα1+α2sα2+…+αrsαr则向量组β1，β2，…，βs线性无关<=>矩阵A=(αij)r×s的秩为s．
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考研数学三

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