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已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关．设β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1．试讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
admin
2021-01-25
41
问题
已知向量组α
1
，α
2
，…，α
s
(s≥2)线性无关．设β
1
=α
1
+α
2
，β
2
=α
2
+α
3
，…，β
s-1
=α
s-1
+α
s
，β
s
=α
s
+α
1
．试讨论向量组β
1
，β
2
，…，β
s
的线性相关性．
选项
答案
假设有一组数x
1
，x
2
，…，x
s
，使得 x
1
β
1
+x
2
β
2
+…x
s
β
s
=0将题设的线性表示式代人上式并整理，得 (x
s
+x
1
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
s-1
+x
s
)α
s
=0由于α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，故有 [*]此方程组的系数行列式为s阶行列式： [*]因此有 (1)若s为奇数，则D=2≠0，故方程组(*)只有零解，即x
1
，x
2
，…，x
s
必全为0．这时，β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关； (2)若s为偶数，则D=0，故方程组(*)有非零解，即存在不全为0的一组数x
1
，x
2
，…，x
s
，使x
1
β
1
+x
2
β
2
+…+x
s
β
s
=0．这时，向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性相关．
解析
本题考查向量组线性相关与线性无关的基本概念．注意本题问题归结为齐次方程组(*)是存在非零解还是只有零解的问题，亦即方程组(*)的系数矩阵的秩是小于s还是等于s的问题．运用本题的推导方法，可证明下述的一般结论：
设向量组α
1
，α
2
，…，α
r
，线性无关，又有(其中α
ij
为常数，i=1，…，r；j=1，…，s)
β
1
=α
11
α
1
+α
21
α
2
+…+α
r1
lα
r
β
2
=α
12
α
1
+α
22
α
2
+…+α
r2
α
r
… β
s
=α
1s
α
1
+α
2s
α
2
+…+α
rs
α
r
则向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关<=>矩阵A=(α
ij
)
r×s
的秩为s．
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考研数学三
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