(07年)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,且α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (

admin2021-01-25  31

问题 (07年)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,且α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.
    (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
    (Ⅱ)求矩阵B.

选项

答案(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λi的特征向量为αi(i=1,2,3),由特征值的定义与性质,有Akαi=λikαi(i=1,2,3,k=1,2,…),于是有 Bα1=(A5-4A3+E)α1=(λ15-4λ13+)α1=-2α1 因α1=≠0,故由定义知-2为B的一个特征值且α1为对应的一个特征向量.类似可得 Bα2=(λ25-4λ23+1)α2=α23=(λ35-4λ33+1)α3=α3 因为A的全部特征值为λ1,λ2,λ3,所以B的全部特征值为λi5-4λi3+(i=1,2,3),即B的全部特征值为-2,1,1. 因-2为B的单特征值,故B的属于特征值-2的全部特征向量为k1α1,其中k1是不为零的任意常数. 设χ=(χ1,χ2,χ3)T为B的属于特征值1的任一特征向量.因为A是实对称矩阵,所以B也是实对称矩阵.因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交,所以有(χ1,χ2,χ31=0,即 χ1-χ2+χ3=0 解得该方程组的基础解系为 ξ2=(1,1,0)T,ξ3=(-1,0,1)T 故B的属于特征值1的全部特征向量为忌k2ξ2+k3ξ3,其中k2,k3为不全为零的任意常数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知α1,ξ2,ξ3为B的3个线性无关的特征向量,令矩阵 [*]

解析
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