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(07年)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,且α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (
(07年)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,且α1=(1,-1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (
admin
2021-01-25
33
问题
(07年)设3阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-2,且α
1
=(1,-1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量.记B=A
5
-4A
3
+E,其中E为3阶单位矩阵.
(Ⅰ)验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B.
选项
答案
(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λ
i
的特征向量为α
i
(i=1,2,3),由特征值的定义与性质,有A
k
α
i
=λ
i
k
α
i
(i=1,2,3,k=1,2,…),于是有 Bα
1
=(A
5
-4A
3
+E)α
1
=(λ
1
5
-4λ
1
3
+)α
1
=-2α
1
因α
1
=≠0,故由定义知-2为B的一个特征值且α
1
为对应的一个特征向量.类似可得 Bα
2
=(λ
2
5
-4λ
2
3
+1)α
2
=α
2
Bα
3
=(λ
3
5
-4λ
3
3
+1)α
3
=α
3
因为A的全部特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,所以B的全部特征值为λ
i
5
-4λ
i
3
+(i=1,2,3),即B的全部特征值为-2,1,1. 因-2为B的单特征值,故B的属于特征值-2的全部特征向量为k
1
α
1
,其中k
1
是不为零的任意常数. 设χ=(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
为B的属于特征值1的任一特征向量.因为A是实对称矩阵,所以B也是实对称矩阵.因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交,所以有(χ
1
,χ
2
,χ
3
)α
1
=0,即 χ
1
-χ
2
+χ
3
=0 解得该方程组的基础解系为 ξ
2
=(1,1,0)
T
,ξ
3
=(-1,0,1)
T
故B的属于特征值1的全部特征向量为忌k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
,其中k
2
,k
3
为不全为零的任意常数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知α
1
,ξ
2
,ξ
3
为B的3个线性无关的特征向量,令矩阵 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/U5x4777K
0
考研数学三
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