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设随机变量U在[-3,3]上服从均匀分布,记随机变量 (Ⅰ)求Cov(X,Y),并判断随机变量X与Y的独立性; (Ⅱ)求D[(1+X)Y]。
设随机变量U在[-3,3]上服从均匀分布,记随机变量 (Ⅰ)求Cov(X,Y),并判断随机变量X与Y的独立性; (Ⅱ)求D[(1+X)Y]。
admin
2019-01-25
93
问题
设随机变量U在[-3,3]上服从均匀分布,记随机变量
(Ⅰ)求Cov(X,Y),并判断随机变量X与Y的独立性;
(Ⅱ)求D[(1+X)Y]。
选项
答案
(Ⅰ)已知X和Y的全部取值只有-1和1,且 [*] P{X=-1,Y=1}=P{U≤-2,U>1}=0, [*] 因此(X,Y)的分布律及边缘分布律为 [*] 根据相互独立的性质可知随机变量X和Y不独立。 (Ⅱ)根据随机变量乘积的方差公式 D[(1+X)Y]=D(y+XY)=D(Y)+D(XY)+2Cov(Y,XY) =D(Y)+D(XY)+2E(XYz)-2E(Y)E(XY), 由上一问可知[*],因此 [*] 通过计算可得随机变量XY和XY
2
的分布律如下 [*] 因此可分别计算得 [*]
解析
本题考查协方差的计算、独立性的判断及随机变量乘积的方差的计算。先通过已知条件写出(X,Y)的分布律及边缘分布律,然后计算X和Y的期望,利用公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)计算协方差,并通过判断协方差是否等于0验证X和Y是否独立。
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考研数学三
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