2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=1，且｜f’(x)｜≤1，试证： 1≤∫02(x)dx≤3．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=1，且｜f’(x)｜≤1，试证： 1≤∫02(x)dx≤3．

admin2017-07-26  51
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=1，且｜f’(x)｜≤1，试证：
    1≤∫02(x)dx≤3．
选项
答案由拉格朗日微分中值定理得 存在点ξ1∈(0，x)，使得f(x)一f(0)=f’(ξ1)x， 存在点ξ2∈(x，2)，使得f(x)一f(2)=f’(ξ2)(x一2)． 又｜f’(x)｜≤1，所以有 ｜f(x)一f(0)｜≤x→1一x≤f(x)≤1+x，x∈[0，1]， ｜f(x)一f(2)｜≤2一x→x一1≤f(x)≤3一x，x∈[1，2]． 由定积分的性质可知 ∫02f(x)dx≥∫01(1一x)dx+∫12(x一1)dx=1， ∫02f(x)dz≤∫01(1+x)dx+∫12(3一x)dx=3． 故 1≤∫02f(x)dx≤3． 或 f(x)=f(x)—f(b)=f’(ξ)(x一b) (f(b)=0)． 然后，根据题意进行不等式放缩． 若有f(a)=f(b)=0，则f(x)可表示为 f(x)=f(x)=f(x)一f(a)=f’(ξ1)(x一a)， f(x)=f(x)=f(x)一f(a)=f’(ξ2)(x一a)．
解析 先应用拉格朗日微分中值定理估计f(x)的值域范围，再用积分性质估计定积分．
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考研数学三

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