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设f(x)与g(x)在区间[0,1]上都是正值的连续函数,且有相同的单调性.试讨论 的大小关系.
设f(x)与g(x)在区间[0,1]上都是正值的连续函数,且有相同的单调性.试讨论 的大小关系.
admin
2020-03-10
68
问题
设f(x)与g(x)在区间[0,1]上都是正值的连续函数,且有相同的单调性.试讨论
的大小关系.
选项
答案
[*] 考虑分子,并令 φ(t)=∫
0
t
g(x)f
2
(x)dx∫
0
t
f(x)dx一∫
0
t
f
2
(x)dx∫
0
t
g(x)f(x)dx, 有φ(0)=0,且 φ’(t)=g(t)f
2
(t)∫
0
t
f(x)dx+f(t)∫
0
t
g(x)f
2
(x)dx-f
2
(t)∫
0
t
g(x)f(x)dx一g(t)f(t)∫
0
t
f
2
(x)dx =∫
0
t
f
2
(t)f(x)[g(t)一g(x)]dx+∫
0
t
f
2
(x)f(t)[g(x)一g(t)]dx =∫
0
t
f(t)f(x)[f(t)一f(x)][g(t)一g(x)]dx. 题设f(x)与g(x)有相同的单调性,从而知[f(t)一f(x)][g(t)一g(x)]≥0.又因f(t)>0,f(x)>0,故当t>0时,φ’(t)≥0.从而推知当t>0时,φ(t)≥0,所以I
1
≥I
2
.
解析
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0
考研数学三
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