设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明ξ，η∈(a，b)，使cη-ξ[f(η)+f’(η)]=1．

admin2022-11-23 20

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明

ξ，η∈(a，b)，使c^η-ξ[f(η)+f’(η)]=1．

选项

答案上式可化为e^η[f(η)+f’(η)]=e^ξ．为此，引入辅助函数F(x)=e^xf(x)．由题设知F(x)满足拉格朗日定理条件，且F(a)=e^af(a)=e^a，F(b)=e^bf(b)=e^b．因此，存在η∈(a，b)，使 [*]=F’(η)=e^η[f(η)+f’(η)]．又g(x)=e^x在[a，b]上满足拉格朗日定理条件，故[*] 综上所述，[*]ξ，η∈(a，b)．使e^η[f(η)+f’(η)]=e^ξ，即e^η-ξ[f(η)+f’(η)]=1．

解析

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考研数学一

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