2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明ξ，η∈(a，b)，使cη-ξ[f(η)+f’(η)]=1．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明ξ，η∈(a，b)，使cη-ξ[f(η)+f’(η)]=1．

admin2022-11-23  15
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明ξ，η∈(a，b)，使cη-ξ[f(η)+f’(η)]=1．
选项
答案上式可化为eη[f(η)+f’(η)]=eξ．为此，引入辅助函数F(x)=exf(x)．由题设知F(x)满足拉格朗日定理条件，且F(a)=eaf(a)=ea，F(b)=ebf(b)=eb．因此，存在η∈(a，b)，使 [*]=F’(η)=eη[f(η)+f’(η)]． 又g(x)=ex在[a，b]上满足拉格朗日定理条件，故[*] 综上所述，[*]ξ，η∈(a，b)．使eη[f(η)+f’(η)]=eξ，即eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1．
解析
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考研数学一

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