求微分方程y"－2y’－e2x=0满足条件y(0)=1,y’(0)=1的解。

admin2022-10-13 90

问题求微分方程y"－2y’－e^2x=0满足条件y(0)=1,y’(0)=1的解。

选项

答案齐次方程y"－2y’=0的特征方程为λ²－2λ=0 由此求得特征根λ₁=0，λ₂=2，对应齐次方程的通解为[*]=C₁+C₂e^2x 设非齐次方程的特解为y^*=Axe^2x，则 (y^*)’=(A+2Ax)e^2x (y^*)’’=4A(1+x)e^2x 代入原方程，求得A=[*],从而y^*=[*]xe^2x 于是原方程的通解为 y=[*]+y^*=C₁+(C₂+[*]x)e^2x 将y(0)=1和y’(0)=1代入通解，求得 [*] 从而求解为[*]

解析

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考研数学三

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若函数f(x)在点x0处的左导数f﹣’(x0)和右导数f﹢’(x0)都存在，则()．
设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm，组(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，其秩分别为γ1，γ2，向量组(Ⅲ)：α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn的秩为γ3，证明max｛γ1，γ2｝≤γ3≤γ1＋γ2．
根据k的不同取值情况，讨论方程x3－3x＋k＝0实根的个数。
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f′(ξ)＞0，f′(η)＜0．
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证明线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅲ)是同解方程组．
证明推广的积分中值定理：设F(x)与G(x)都是区间[a，b]上的连续函数，且G(x)≥0，G(x)≠0，则至少存在一点ξ∈[a，b]使得∫abF(x)G(x)dx=F(ξ)∫abG(x)dx．
设f(x)是连续函数.(1)求初值问题的解，其中a＞0；(2)若|f(x)|≤k，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤k/a(eax-1).

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