2. 考研
  3. 设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明： (1)r(BTAB)=r(B)． (2)BTAB也是正定阵的充要条件为r(B)=n．

设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明： (1)r(BTAB)=r(B)． (2)BTAB也是正定阵的充要条件为r(B)=n．

admin2020-03-10  48
问题 设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明：
    (1)r(BTAB)=r(B)．
    (2)BTAB也是正定阵的充要条件为r(B)=n．
选项
答案(1)A是正定阵，存在可逆阵D， 使得A=DTD，r(BTAB)=r(BTDTDB)=r[(DB)T(DB)]=r(DB)=r(B)． (2)必要性．A正定，且BTAB正定，由(1)知，r(B)=r(BTAB)=n，故r(B)=n． 充分性．A正定，r(B)=n，则BTAB=BTDTDB=(DBT)(DB)，因r(B)=n，D可逆，故DB可逆，从而BTAB正定．
解析
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考研数学三

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