2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上可导，且f’+(a)＞0，f’-(b)＜0，证明方程f’(x)=0在(a，b)内至少有一个根．

设f(x)在[a，b]上可导，且f’+(a)＞0，f’-(b)＜0，证明方程f’(x)=0在(a，b)内至少有一个根．

admin2017-10-25  54
问题 设f(x)在[a，b]上可导，且f’+(a)＞0，f’-(b)＜0，证明方程f’(x)=0在(a，b)内至少有一个根．
选项
答案由[*]，可知存在x0＞0，使 a+x0∈(a，b)且f(a+0)＞f(a)． 同理，由f’-(b)=[*]，可知存在x1＜0，使f(b+x1)-f(b)＞0， 即有b+x1∈(a，b)，使f(b+x1)＞f(b)． 而由f(x)在[a，b]上可导，则f(x)必连续． 由闭区间上连续函数的性质，知f(x)在[a，b]上必有最大点ξ，又由以上证明知ξ≠a和ξ≠b，因ξ必是f(x)的极值点，故有f’(ξ)=0．
解析 由题设条件找到函数f(x)在[a，b]上的最值点即可得结论．
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考研数学一

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