设f(x)在[0，1]上可导，∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx=0，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0．

admin2017-07-26 41

问题设f(x)在[0，1]上可导，∫₀¹f(x)dx=∫₀¹xf(x)dx=0，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0．

选项

答案作辅助函数F(x)=∫₀^xf(t)dt，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0，又0=∫₀¹xf(x)dx=∫₀¹xdF(x)=xF(x)｜₀¹—∫₀¹F(x)dx=0，由积分中值定理，存在点η∈(0，1)，使得F(η)=0．于是，在[0，η]和[η，1]上分别对F(x)应用洛尔定理，存在点ξ₁∈(0，η)，ξ₂∈(η，1)，使得f(ξ₁)=f(ξ₂)=0．在[ξ₁，ξ₂]上对f(x)再应用洛尔定理，存在点ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](0，1)，使得f’(ξ)=0．

解析

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考研数学三

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设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(0).f(1)＞0，f(1)+∫01f(x)dx=0．试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．
若f(x)=，试证：f’(0)=0．
设函数f(x)在[一2，2]上二阶可导，且|f(x)|≤1，又f(0)+[f2(0)]2=4．试证：在(一2，2)内至少存在一点ξ，使得f"(ξ)+f"(ξ)=0．

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