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  3. 不用求出函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的导数，说明方程f’(x)=0有几个实根,并指出它们所在的区间。

不用求出函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的导数，说明方程f’(x)=0有几个实根,并指出它们所在的区间。

admin2022-09-05  45
问题 不用求出函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的导数，说明方程f’(x)=0有几个实根,并指出它们所在的区间。
选项
答案由于f(x)为多项式函数,所以f(x)在定义域内是连续的、可导的,且f(1)= f(2)=f(3)=f(4)=0,从而f(x)在[1 ,2],[2,3],[3,4]上均满足罗尔定理条件. 因此在(1,2)内至少存在一点ξ1,使f’(ξ1)=0,ξ1是f’(x)=0的一个实根;在(2,3)内至少存在一点ξ2，使f’(ξ2)=0,ξ2也是f’(x)=0的一个实根;在(3,4)内至少存在一点ξ3，使 f’(ξ3)=0,ξ3也是f’(x)=0的一个实根. 而f’(x)为三次多项式,最多只能有三个实根,故ξ1，ξ2，ξ3为f’(x)=0的三个实根,它们分别在区间(1,2) .(2,3)及(3,4)内。
解析
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考研数学三

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