不用求出函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的导数，说明方程f’(x)=0有几个实根,并指出它们所在的区间。

admin2022-09-05 32

问题不用求出函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的导数，说明方程f’(x)=0有几个实根,并指出它们所在的区间。

选项

答案由于f(x)为多项式函数,所以f(x)在定义域内是连续的、可导的,且f(1)= f(2)=f(3)=f(4)=0,从而f(x)在[1 ,2],[2,3],[3,4]上均满足罗尔定理条件. 因此在(1,2)内至少存在一点ξ₁,使f’(ξ₁)=0,ξ₁是f’(x)=0的一个实根;在(2,3)内至少存在一点ξ₂，使f’(ξ₂)=0,ξ₂也是f’(x)=0的一个实根;在(3,4)内至少存在一点ξ₃，使 f’(ξ₃)=0,ξ₃也是f’(x)=0的一个实根. 而f’(x)为三次多项式,最多只能有三个实根,故ξ₁，ξ₂，ξ₃为f’(x)=0的三个实根,它们分别在区间(1,2) .(2,3)及(3,4)内。

解析

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考研数学三

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