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设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)＝f(a2)＝…＝f(an)＝0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得f(c)＝
设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)＝f(a2)＝…＝f(an)＝0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得f(c)＝
admin
2019-11-25
59
问题
设a
1
＜a
2
＜…＜a
n
，且函数f(x)在[a
1
，a
n
]上n阶可导，c∈[a
1
，a
n
]且f(a
1
)＝f(a
2
)＝…＝f(a
n
)＝0．证明：存在ξ∈(a
1
，a
n
)，使得f(c)＝
选项
答案
当c＝a
i
(i＝1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a
1
，a
n
)，结论成立； 设c为异于a
1
，a
2
，…，a
n
的数，不妨设a
1
＜c＜a
2
＜…＜a
n
． 令k＝[*]，构造辅助函数φ(x)＝f(x)－k(x－a
1
)(x－a
2
)…(x－a
n
)，显然φ(x)在[a
1
，a
n
]上 n阶可导，且φ(a
1
)＝φ(c)＝φ(a
2
)＝…＝φ(a
n
)＝0， 由罗尔定理，存在ξ
(1)
1
∈(a
1
，c)，ξ
(1)
2
∈(c，a
2
)，…，ξ
(1)
n
∈(a
n－1
，a
n
)，使得φ’(ξ
(1)
1
)＝ φ’(ξ
(1)
2
)＝…＝φ’(ξ
(1)
n
)＝0，φ’(x)在(a
1
，a
n
)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定 理，则φ
(n－1)
(x)在(a
1
，a
n
)内至少有两个不同零点，设为c
1
，c
2
∈(a
1
，a
n
)，使得 φ
(n－1)
(c
1
)＝φ
(n－1)
(c
2
)＝0， 再由罗尔定理，存在ξ∈(c
1
，c
2
)[*](a
1
，a
n
)，使得φ
(n)
(ξ)＝0． 而φ
(n)
(x)＝f
(n)
(x)－n！k，所以f
(n)
(ξ)＝n！k，从而有f(c)＝[*]f
(n)
(ξ)．
解析
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考研数学三
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