2. 考研
  3. 设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)＝f(a2)＝…＝f(an)＝0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得f(c)＝

设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)＝f(a2)＝…＝f(an)＝0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得f(c)＝

admin2019-11-25  109
问题 设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)＝f(a2)＝…＝f(an)＝0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得f(c)＝
选项
答案当c＝ai(i＝1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a1，an)，结论成立； 设c为异于a1，a2，…，an的数，不妨设a1＜c＜a2＜…＜an． 令k＝[*]，构造辅助函数φ(x)＝f(x)－k(x－a1)(x－a2)…(x－an)，显然φ(x)在[a1，an]上 n阶可导，且φ(a1)＝φ(c)＝φ(a2)＝…＝φ(an)＝0， 由罗尔定理，存在ξ(1)1∈(a1，c)，ξ(1)2∈(c，a2)，…，ξ(1)n∈(an－1，an)，使得φ’(ξ(1)1)＝ φ’(ξ(1)2)＝…＝φ’(ξ(1)n)＝0，φ’(x)在(a1，an)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定 理，则φ(n－1)(x)在(a1，an)内至少有两个不同零点，设为c1，c2∈(a1，an)，使得 φ(n－1)(c1)＝φ(n－1)(c2)＝0， 再由罗尔定理，存在ξ∈(c1，c2)[*](a1，an)，使得φ(n)(ξ)＝0． 而φ(n)(x)＝f(n)(x)－n！k，所以f(n)(ξ)＝n！k，从而有f(c)＝[*]f(n)(ξ)．
解析
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考研数学三

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