2. 考研
  3. 设f(x)在[1，＋∞)内可导，f’(x)＜0且f(x)＝a＞0，令an＝－∫1nf(x)dx．证明：{an)收敛且0≤≤f(1)．

设f(x)在[1，＋∞)内可导，f’(x)＜0且f(x)＝a＞0，令an＝－∫1nf(x)dx．证明：{an)收敛且0≤≤f(1)．

admin2018-01-23  52
问题 设f(x)在[1，＋∞)内可导，f’(x)＜0且f(x)＝a＞0，令an＝－∫1nf(x)dx．证明：{an)收敛且0≤≤f(1)．
选项
答案因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少． 又因为an＋1－an＝f(n＋1)－∫nn＋1f(x)dx＝f(n＋1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n，n＋1])， 所以{an}单调减少． 因为an＝[*]∫kk＋1[f(k)－f(x)]dx＋f(n)，而∫kk＋1[f(k)－f(x)]dx≥0(k＝1，2，…，n－1) 且[*]f(x)＝a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0． 由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，＋∞))，故an≥f(n)＞0，所以[*]an存在． 由an＝f(1)＋[f(2)－∫12f(x)dx]＋…＋[f(n)－∫n－1nf(x)dx]， 而f(k)－∫k－1kf(x)dx≤0(k＝2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤[*]an≤f(1)．
解析
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考研数学三

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