设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-5),则在(0,5)内方程f’’(x)=0有_______个实根.

admin2017-09-28  18

问题 设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-5),则在(0,5)内方程f’’(x)=0有_______个实根.

选项

答案3

解析 用罗尔定理研究方程f’(x)=0,f’’(x)=0根的存在性.
    由于f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)在[0,1],[1,2],[2,3],[3,5]上连续,在(0,1),(1,2),(2,3),(3,5)内可导,且
    f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(5)=0,
所以由罗尔定理可知,存在ξ1∈(0,1),ξ2∈(1,2),ξ3∈(2,3),ξ4∈(3,5),使得
    f’(ξ1)=f’(ξ2)=f’(ξ3)=f’(ξ4)=0.
    又由于f’(x)为四次多项式,它在[ξ1,ξ2],[ξ2,ξ3],[ξ3,ξ4]上满足罗尔定理条件,所以存在η1∈(ξ1,ξ2),η2∈(ξ2,ξ3),η3∈(ξ3,ξ4),使得
   f’’(η1)=f’’(η2)=f’’(η3)=0,
故f’’(x)=0在(0,5)内至少有三个实根.
    由于f’’(x)为三次多项式,它最多有三个根,所以在区间(0,5)内,方程f’’(x)=0有三个实根η1,η2,η3.
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