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设f(χ)与g(χ)在[a,b]上连续,且同为单调不减(或同单调不增)函数,证明: (b-a)∫abf(χ)g(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ. (*)
设f(χ)与g(χ)在[a,b]上连续,且同为单调不减(或同单调不增)函数,证明: (b-a)∫abf(χ)g(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ. (*)
admin
2016-10-21
48
问题
设f(χ)与g(χ)在[a,b]上连续,且同为单调不减(或同单调不增)函数,证明:
(b-a)∫
a
b
f(χ)g(χ)dχ≥∫
a
b
f(χ)dχ∫
a
b
g(χ)dχ. (*)
选项
答案
引进辅助函数 F(χ)=(χ-a)∫
a
χ
(t)g(t)dt-∫
a
χ
f(t)dt∫
a
χ
g(t)dt 转化为证明F(χ)≥0(χ∈[a,b]). 由F(a)=0, F′(χ)=∫
a
χ
f(t)g(t)dt+(χ-a)f(χ)g(χ)-f(χ)∫
a
χ
g(t)dt-g(χ)∫
a
χ
f(t)dt =∫
a
χ
f(t)[g(t)-g(χ)]dt-∫
a
χ
f(χ)[g(t)-g(χ)]dt =∫
a
χ
[f(t)-f(χ)][g(t)-g(χ)]dt≥0(χ∈[a,b]) 其中(χ-a)f(χ)g(χ)=∫
a
χ
f(χ)g(χ)dt,我们可得F(χ)在[a,b]单调不减[*]F(χ)≥F(a)=0(χ∈[a,b]),特别有 F(b)≥0 即原式成立.
解析
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