2. 考研
  3. 设f(χ)与g(χ)在[a，b]上连续，且同为单调不减(或同单调不增)函数，证明： (b－a)∫abf(χ)g(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ． (*)

设f(χ)与g(χ)在[a，b]上连续，且同为单调不减(或同单调不增)函数，证明： (b－a)∫abf(χ)g(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ． (*)

admin2016-10-21  59
问题 设f(χ)与g(χ)在[a，b]上连续，且同为单调不减(或同单调不增)函数，证明：
    (b－a)∫abf(χ)g(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ．    (*)
选项
答案引进辅助函数 F(χ)＝(χ－a)∫aχ(t)g(t)dt－∫aχf(t)dt∫aχg(t)dt 转化为证明F(χ)≥0(χ∈[a，b])． 由F(a)＝0， F′(χ)＝∫aχf(t)g(t)dt＋(χ－a)f(χ)g(χ)－f(χ)∫aχg(t)dt－g(χ)∫aχf(t)dt ＝∫aχf(t)[g(t)－g(χ)]dt－∫aχf(χ)[g(t)－g(χ)]dt ＝∫aχ[f(t)－f(χ)][g(t)－g(χ)]dt≥0(χ∈[a，b]) 其中(χ－a)f(χ)g(χ)＝∫aχf(χ)g(χ)dt，我们可得F(χ)在[a，b]单调不减[*]F(χ)≥F(a)＝0(χ∈[a，b])，特别有 F(b)≥0 即原式成立．
解析
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考研数学二

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