2. 考研
  3. 已知n维向量组α1，α2，…，αs(s≤n)线性无关，β是任意n维向量，证明向量组β，α1，α2，…，αs中至多有一个向量能由其前面的向量线性表示．

已知n维向量组α1，α2，…，αs(s≤n)线性无关，β是任意n维向量，证明向量组β，α1，α2，…，αs中至多有一个向量能由其前面的向量线性表示．

admin2020-09-25  71
问题 已知n维向量组α1，α2，…，αs(s≤n)线性无关，β是任意n维向量，证明向量组β，α1，α2，…，αs中至多有一个向量能由其前面的向量线性表示．
选项
答案假设向量组β，α1，α2，…，αs中有两个向量αi和αj(1≤i＜j≤5)可由其前面的向量线性表示： αi=kβ+k1α1+…+ki-1αi-1， ① αj=lβ+l1α1+…+lj-1αj-1， ② 下证k≠0．若k=0，则由①式可得αi=k1α1+…+ki-1αi-1，从而可得α1，…，αi-1，αi线性相关，所以α1，…，αi，…，αs线性相关，矛盾，所以k≠0． 因为k≠0，所以由①式得：[*] 代入②式可知αj能由α1，…，αj-1线性表示，所以α1，…，αj-1，αj线性相关，从而可得α1，α2，…，αs线性相关，矛盾，所以向量组β，α1，…，αs中至多有一个向量能由其前面的向量线性表示．
解析
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考研数学三

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