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已知n维向量组α1,α2,…,αs(s≤n)线性无关,β是任意n维向量,证明向量组β,α1,α2,…,αs中至多有一个向量能由其前面的向量线性表示.
已知n维向量组α1,α2,…,αs(s≤n)线性无关,β是任意n维向量,证明向量组β,α1,α2,…,αs中至多有一个向量能由其前面的向量线性表示.
admin
2020-09-25
77
问题
已知n维向量组α
1
,α
2
,…,α
s
(s≤n)线性无关,β是任意n维向量,证明向量组β,α
1
,α
2
,…,α
s
中至多有一个向量能由其前面的向量线性表示.
选项
答案
假设向量组β,α
1
,α
2
,…,α
s
中有两个向量α
i
和α
j
(1≤i<j≤5)可由其前面的向量线性表示: α
i
=kβ+k
1
α
1
+…+k
i-1
α
i-1
, ① α
j
=lβ+l
1
α
1
+…+l
j-1
α
j-1
, ② 下证k≠0.若k=0,则由①式可得α
i
=k
1
α
1
+…+k
i-1
α
i-1
,从而可得α
1
,…,α
i-1
,α
i
线性相关,所以α
1
,…,α
i
,…,α
s
线性相关,矛盾,所以k≠0. 因为k≠0,所以由①式得:[*] 代入②式可知α
j
能由α
1
,…,α
j-1
线性表示,所以α
1
,…,α
j-1
,α
j
线性相关,从而可得α
1
,α
2
,…,α
s
线性相关,矛盾,所以向量组β,α
1
,…,α
s
中至多有一个向量能由其前面的向量线性表示.
解析
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考研数学三
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