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(97年)设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵 其中A*是矩阵A的伴随矩阵,I为n阶单位矩阵. (1)计算并化简PQ; (2)证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
(97年)设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵 其中A*是矩阵A的伴随矩阵,I为n阶单位矩阵. (1)计算并化简PQ; (2)证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
admin
2019-03-19
58
问题
(97年)设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵
其中A
*
是矩阵A的伴随矩阵,I为n阶单位矩阵.
(1)计算并化简PQ;
(2)证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是α
T
A
-1
α≠b.
选项
答案
(1)因为AA
*
=A
*
A=|A|I,故 [*] (2)由(1)可得 |PQ|=|A|
2
(b-α
T
A
-1
α) 而|PQ|=|P|.|Q|,且由P的定义知|P|=|A|≠0,故由上式得 |P|=|A|(b-α
T
A
-1
α) 由此可知|Q|≠0[*]b-α
T
A
-1
α≠0,即矩阵Q可逆[*]α
T
A
-1
α≠b.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/weP4777K
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考研数学三
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