2. 考研
  3. (97年)设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵 其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵． (1)计算并化简PQ； (2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

(97年)设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵 其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵． (1)计算并化简PQ； (2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

admin2019-03-19  65
问题 (97年)设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

    其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵．
    (1)计算并化简PQ；
    (2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．
选项
答案(1)因为AA*＝A*A＝｜A｜I，故 [*] (2)由(1)可得 ｜PQ｜＝｜A｜2(b－αTA-1α) 而｜PQ｜＝｜P｜.｜Q｜，且由P的定义知｜P｜＝｜A｜≠0，故由上式得 ｜P｜＝｜A｜(b－αTA-1α) 由此可知｜Q｜≠0[*]b－αTA-1α≠0，即矩阵Q可逆[*]αTA-1α≠b．
解析
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考研数学三

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