2. 考研
  3. 已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3. (I)证明：α，Aα，A2α线性无关； (II)设P=(α，Aα，A2α)，求P-1AP．

已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3. (I)证明：α，Aα，A2α线性无关； (II)设P=(α，Aα，A2α)，求P-1AP．

admin2020-07-02  159
问题 已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令α=α1+α2+α3.
(I)证明：α，Aα，A2α线性无关；
(II)设P=(α，Aα，A2α)，求P-1AP．
选项
答案(Ⅰ)由Aα1=α1，Aα2=2α2，Aα3=3α3，且α1，α2，α3非零可知，α1，α2，α3是A的不同特征值的特征向量，故α1，α2，α3线性无关． 又Aα=α1+2α2+3α3，A2α=α1+4α2+9α3，若k1α+k2Aα+k3A2α=0，即 k1(α1+α2+α3)+k2(α1+2α2+3α3)+k3(α1+4α2+9α3)=0， 则 (k1+k2+k3)α1+(k1+2k2+4k3)α2+(k1+3k2+9k3)α3=0． 由α1，α2，α3线性无关，得齐次线性方程组 [*] 因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0，所以必有k1=k2=k3=0，即α，Aα,A2α线性无关． (Ⅱ)因为A3α=α1+8α2+27α3=6α—11Aα+6A2α，所以 AP=A(α，Aα，A2α)=(Aα，A2α，6α—11Aα+6A2α)=[*] 故[*]
解析
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考研数学三

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