设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=

admin2016-10-24 67

问题设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=

选项

答案令φ(x)=(x一1)²f’(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导。由f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)[*](0，1)，使得φ’(φ)=0，而φ’(x)=2(x一1)f’(x)+(x一1)²f"(x)，所以2(ξ一1)f’(ξ)+(ξ一1)²f"(ξ)=0，整理得f"(ξ)=[*]

解析

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考研数学三

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如图2．1所示，y＝f(x)和y＝g(x)的图形分别是图中的虚线和实线所表示的折线．设F(x)＝f[g(x)]，求Fˊ(1)．
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