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  3. 已知齐次方程组(Ⅰ) 解都满足方程x1+x2+x3=0，求a和方程组的通解．

已知齐次方程组(Ⅰ) 解都满足方程x1+x2+x3=0，求a和方程组的通解．

admin2017-06-08  72
问题 已知齐次方程组(Ⅰ)

解都满足方程x1+x2+x3=0，求a和方程组的通解．
选项
答案求出(Ⅰ)的解，代入x1+x2+x3=0，决定a． 用矩阵消元法，设系数矩阵为A， [*] 当a=0时，(Ⅰ)和方程x1+x2+x4=0同解，以x2，x3，x4为自由未知量求出一个基础解系 η1=(－1，1，0，0)T，η2=(0，0，1，0)T，η3=(－1，0，0，1)T． 其中η2，η3都不是x1+x2+x3=0，的解，因此a=0不合要求． 当a≠0时，继续对B进行初等行变换 [*] 以x4为自由未知量，得基础解系η=(a－1，－a，[*]，1)T．代入x1+x2+x3=0， (a－1)+(－a)+[*]=0， 求得a=1／2．即当a=1／2时，η适合x1+x2+x3=0，从而(Ⅰ)的解都满足x1+x2+x3=0．当a≠1／2时，η不满足x1+x2+x3=0． 得a=1／2为所求．此时，方程组的通解为c(－1／2，－1／2，1，1)T，c可取任何常数．
解析
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考研数学二

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