设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S,均有 (y+1)f′(χ)dydz+(y-y2)f(χ)dzdχ+[zyf′(χ)-2zeχ]dχdy=0, 其中f(χ)在(-∞,+∞)内具有连续的二阶导数,求f(χ)。

admin2017-11-30  21

问题 设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S,均有
    (y+1)f′(χ)dydz+(y-y2)f(χ)dzdχ+[zyf′(χ)-2zeχ]dχdy=0,
    其中f(χ)在(-∞,+∞)内具有连续的二阶导数,求f(χ)。

选项

答案令p(χ,y)=(y+1)f′(χ),Q(χ,y)=(y-y2)f(χ),R(χ,y)=zyf′(χ)-2zeχ, 由于f(χ)在(-∞,+∞)内具有连续的二阶导数,故p(χ,y),Q(χ,y),R(χ,y)均具有一阶连续偏导,故由高斯公式可知, [*](y+1)f′(χ)dydz+(y-y2)f(χ)dzdχ+[zyf′(χ)-2zeχ]dχdy =±[*][(y+1)f〞(χ)+(1-2y)f(χ)+yf′(χ)-2eχ]dχdydz=0。 其中,Ω是由闭合曲面S所围成的区域,由区域Ω的任意性可知, (y+1)f〞(χ)+(1-2y)f(χ)+yf′(χ)-2eχ=0, 即y[f〞(χ)+f′(χ)-2f(χ)]+[f〞(χ)+f(χ)-2eχ]=0, 则有f〞(χ)+f′(χ)-2f(χ)=0 (1) f〞(χ)+f(χ)-2eχ=0 (2) 求解微分方程(1),得f(χ)=C1eχ+C2e-2χ,则该通解同样满足微分方程(2),代入可得C1 =1,C2=0,故f(χ)=eχ

解析
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