求函数M=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值．

admin2022-06-08 66

问题求函数M=xy+2yz在约束条件x²+y²+z²=10下的最大值和最小值．

选项

答案构造拉格朗日函数L(x，y，z，λ)=xy+2yz+λ(x²+y²+z²－10)，令 [*] 当λ≠0时，①，③式联立，消去y，λ得z=2x．将z=2x代入②式，整理后与①式联立，消去λ，得y²=5x²，将z=2x，y²=5x²代入④式可得四个可能极值点 [*] 当λ=0时，解得E(2[*])．由于在点A与点B处，M=5[*]；在点C与点D处，M=－5[*]；在点E与点F处，M=0．又因为该问题必存在最值，并且最值不可能在其它点处，所以 M_max=5[*]，M_min=－5[*]．

解析

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