2. 考研
  3. 设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

admin2021-02-25  20
问题 设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．
选项
答案矩阵A的特征多项式为 [*] 若λ=2是特征方程的二重根，则有22-16+18+3a=0，解得a=-2． 当a=-2时，A的特征值为2，2，6，矩阵 [*] 的秩为1，故λ=2对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化． 若λ=2不是特征方程的二重根，则λ2-8λ+18+3a为完全平方数，从而18+3a=16，解得a=-2/3． 当a=-2/3时，A的特征值为2，4，4，矩阵 [*] 的秩为2，故λ=4对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化．
解析 本题主要考查矩阵特征值、特征向量的求法及矩阵相似于一个对角矩阵的充分必要条件．通过讨论矩阵特征方程二重根的情况以及对应的线性无关的特征向量的个数，从而决定矩阵A是否可以相似于对角矩阵．
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考研数学二

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