设A=，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。

admin2019-08-01 77

问题设A=

，正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵，若Q的第一列为

(1，2，1)^T，求a，Q。

选项

答案根据题意，(1，2，1)^T是A的一个特征向量，于是 [*] 解得a=一1，λ₁=2。由于A的特征多项式为｜λE一A｜=(λ一2)(λ+4)(λ一5)，所以A的特征值为2，一4，5。当λ₂=一4时，求得(一4E—A)x=0的基础解系为α₂=[*]。当λ₃=5时，求得(5E—A)x=0基础解系为α₃=[*]；把α₂，α₃单位化得 [*] Q即为所求矩阵。

解析因为Q是正交矩阵，因此Q^T=Q^－1，所以Q^TAQ=

，即Q^－1AQ=

。
A的对角线上的元素是A的特征值，Q的列向量都是A的特征向量。

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