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  3. 设A=，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。

设A=，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。

admin2019-08-01  102
问题 设A=，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。
选项
答案根据题意，(1，2，1)T是A的一个特征向量，于是 [*] 解得a=一1，λ1=2。 由于A的特征多项式为 ｜λE一A｜=(λ一2)(λ+4)(λ一5)， 所以A的特征值为2，一4，5。 当λ2=一4时，求得(一4E—A)x=0的基础解系为α2=[*]。 当λ3=5时，求得(5E—A)x=0基础解系为α3=[*]； 把α2，α3单位化得 [*] Q即为所求矩阵。
解析 因为Q是正交矩阵，因此QT=Q－1，所以QTAQ=，即Q－1AQ=。
A的对角线上的元素是A的特征值，Q的列向量都是A的特征向量。
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考研数学二

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